Σάββατο, 31 Μαρτίου 2012

Λεωδάμας ο Θάσιος



Ο λησμονημένος μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας

Στο σύντομο αυτό άρθρο θα προσπαθήσουμε να ρίξουμε λίγο φως στο βίο και στο έργο του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού Λεωδάμαντα του Θάσιου. Ο Λεωδάμας γεννήθηκε στα τέλη του 5ου και έζησε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του τον 4ο π.Χ αιώνα. Γεννήθηκε στη Θάσο αλλά σε κάποια στιγμή της ζωής του, μάλλον σε νεαρή ηλικία, βρέθηκε στην Αθήνα και θήτευσε στην περίφημη Ακαδημία του Πλάτωνα. Υπήρξε μαθητής και φίλος του Πλάτωνα, συνομήλικος του Θεαίτητου και πιθανόν συνεργάτης του. Οι αναφορές σε αυτόν είναι ελάχιστες, αλλά θα πρέπει να εικάσουμε ότι ήταν όχι απλό μέλος της Ακαδημίας, αλλά από τα επιφανέστερα μέλη αυτής.
Τα μαθηματικά σαν επιστήμη είναι ένα αποκλειστικό δημιούργημα των αρχαίων Ελλήνων. Αυτοί πήραν πρότερες γνώσεις από άλλους λαούς, όπως οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι, και τις ανήγαγαν σε επιστήμη. Η διαχωριστική γραμμή μεταξύ κάποιων εμπειρικών μαθηματικών γνώσεων και της επιστήμης των μαθηματικών είναι η απόδειξη. Η απόδειξη επινοήθηκε και χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Θαλή τον Μιλήσιο (640-546 π.Χ).
Ο Θαλής, ο πρώτος από τους επτά σοφούς της αρχαίας Ελλάδας, ήταν πολυταξιδεμένος. Ο Πλούταρχος αναφέρει ότι σε ένα ταξίδι του στην Αίγυπτο μέτρησε το ύψος των πυραμίδων προκαλώντας το θαυμασμό του εκεί ιερατείου. Επίσης το 585 π.Χ προέβλεψε την έκλειψη ηλίου, που συνέβη εκείνη τη χρονιά, και απέκτησε μεγάλη φήμη στην Ελλάδα. Ο Θαλής ίδρυσε την Υλοζωική Σχολή της Μιλήτου, που θεωρείται η πρώτη φιλοσοφική σχολή (Πανεπιστήμιο) στον κόσμο. Ο σκοπός της Ιωνικής Σχολής του Θαλή ήταν η ερμηνεία του κόσμου με όσο το δυνατόν λογική επιχειρηματολογία (ορθολογισμός) και προπάντων απαλλαγμένη από μύθους, δοξασίες και θρησκοληψίες. Δυστυχώς κανένα έργο του Θαλή δε σώθηκε. Πέθανε τέλος πλήρης ημερών, σε ηλικία 94 ετών, ενώ παρακολουθούσε αθλητικούς αγώνες στο στάδιο της Μιλήτου. Μαθητές του Θαλή και συνεχιστές της Σχολής του ήταν ο Αναξίμανδρος (611-546 π.Χ) και ο Αναξιμένης (585-528 π.Χ) από τη Μίλητο αμφότεροι και πιθανώς ο Ηράκλειτος (~540-480 π.Χ) από τη γειτονική Έφεσο.
·        Τη Σχολή της Ιωνίας διαδέχτηκε η Σχολή των Πυθαγορείων. Ιδρυτής της νέας φιλοσοφικής σχολής ήταν ο Πυθαγόρας από τη Σάμο (~580-500 π.Χ). Πιθανώς να είχε θητεύσει στην Ιωνική Σχολή που ήταν εξάλλου πολύ κοντά στη Σάμο. Αφού γύρισε και αυτός τον τότε γνωστό κόσμο επέστρεψε στην πατρίδα του και επιχείρησε να ιδρύσει δική του σχολή. Όμως εκδιώχθηκε από τη Σάμο στα χρόνια της τυραννίας του Πολυκράτη και έτσι βρέθηκε στη Μεγάλη Ελλάδα, δηλαδή στην κάτω Ιταλία. Η σχολή που ίδρυσε στον Κρότωνα της κάτω Ιταλίας είχε τα μαθηματικά στο επίκεντρο της φιλοσοφίας τους. Η διαφορά σε σχέση με την Ιωνική Σχολή ήταν ο μυστικισμός. Τα μέλη της σχολής λειτουργούσαν σε συνωμοτική βάση και για να γίνει δεκτός κανείς στη σχολή ήταν δόκιμος για ένα διάστημα από τρία έως πέντε χρόνια. Τα μαθηματικά επιτεύγματα της σχολής δεν έπρεπε να ανακοινώνονται εκτός αυτής. Ο Ίππασος ο Μεταποντίνος για να μην ανακοινώσει εκτός της Σχολής την ανακάλυψή του για την ασυμμετρία θανατώθηκε από τους συντρόφους του με πνιγμό στη θάλασσα κατά τη διάρκεια ενός ταξιδιού. Τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν σε πολύ μεγάλο βαθμό στη σχολή των Πυθαγορείων αλλά γνωρίζουμε σχετικά λίγα για αυτά, λόγω του κλειστού χαρακτήρα της σχολής. Τελικά, η σχολή αυτή διαλύθηκε βίαια από πολιτικά αντίπαλη μερίδα κατοίκων του Κρότωνα και μάλιστα πολλά μέλη της σκοτώθηκαν, ενώ άλλα εξορίστηκαν.
·        Τη Σχολή των Πυθαγορείων διαδέχθηκαν οι Αθηναίοι. Η ακμή της Αθήνας ξεκίνησε μετά τους Περσικούς πολέμους, τον 5ο μ.Χ αιώνα και διήρκεσε περίπου 150 χρόνια. Σε αυτή ιδρύθηκαν διάφορες φιλοσοφικές σχολές με αποκορύφωμα την Ακαδημία του Πλάτωνα με αντικείμενα μελέτης τη φιλοσοφία, τα μαθηματικά, τις φυσικές και πολιτικές επιστήμες. Ιδρυτής της Ακαδημίας ήταν ο Πλάτων (427-347 π.Χ), όπου σε αυτή συνέρευσαν φωτισμένα μυαλά – επιστήμονες από όλο τον τότε γνωστό κόσμο. Στο υπέρθυρο της Ακαδημίας αναγραφόταν η φράση Μηδείς Αγεωμέτρητος Εισείτω, δηλαδή να μην εισέρχεται κανένας που δεν γνωρίζει Γεωμετρία. Ο Πλάτων θεωρούσε ότι η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά ήταν ο μόνος και ασφαλής δρόμος για να προσεγγίσει κανείς τον κόσμο των ιδεών και το Θεό.
Επιστήμονες που θήτευσαν στην Ακαδημία ήταν οι Αριστοτέλης, Θεόδωρος ο Κυρηναίος, Θεαίτητος ο Αθηναίος, Λεωδάμας ο Θάσιος, Εύδοξος ο Κνίδιος, Δεινόστρατος και ο αδελφός του Μέναιχμος από την Προκόννησο της Θράκης, Ευκλείδης και πολλοί άλλοι. Την Ακαδημία έκλεισε με διάταγμα το 529 μ.Χ ο αυτοκράτορας Ιουστινιανός, μετά από 916 χρόνια αδιάλειπτης λειτουργίας, γιατί θεωρούσε ότι καλλιεργούσε (!!!) την ειδωλολατρία.
Οι μαθηματικές γνώσεις από την εποχή του Θαλή μέχρι και του Ευκλείδη καταγράφηκαν στο μνημειώδες έργο Στοιχεία Γεωμετρίας. Το έργο αυτό συνέγραψε ο Ευκλείδης στην Αλεξάνδρεια, τον 3ο π.Χ αιώνα. Το μαθηματικό αυτό αριστούργημα διαρθρώνεται σε 13 βιβλία που περιέχουν 121 ορισμούς, 5 αιτήματα, 9 κοινές έννοιες και 465 προτάσεις (θεωρήματα) και αναπτύσσονται όλες οι αποδεικτικές μαθηματικές μέθοδοι. Επίσης για πρώτη φορά στον κόσμο γίνεται η αξιωματική θεμελίωση μιας μαθηματικής επιστήμης. Να σημειώσουμε ότι τα Στοιχεία έθεσαν στο περιθώριο προηγούμενες εκδόσεις έργων Γεωμετρίας λόγω της καταφανούς ανωτερότητάς τους αλλά, και μετά τον Ευκλείδη ουδείς κατάφερε να τα αμφισβητήσει. Υπήρξαν βέβαια αρκετοί μαθηματικοί που συνέγραψαν σχόλια για τα Στοιχεία, ή διάφορες συμπληρωματικές εργασίες. Η μόνη ουσιαστική συμπλήρωση στην αξιωματική θεμελίωση των Στοιχείων έγινε από τον γερμανό μαθηματικό David Hilbert (1862-1943) το 1899 με το περίφημο έργο του Επί των θεμελίων της Γεωμετρίας (Grundlagen der Geometrie).

Ένας από τους τελευταίους διευθυντές της Ακαδημίας ήταν ο νεοπλατωνικός φιλόσοφος Πρόκλος (~400-480 μ.Χ) από την Λυκία, που άφησε αρκετά σημαντικό έργο. Ένα από τα πιο σπουδαία έργα του που σώθηκαν και μας δίνει ανεκτίμητες πληροφορίες ήταν τα Σχόλια στο 1ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη.
Εκεί ο Πρόκλος μεταξύ άλλων αναφέρει και τα ονόματα 23 Γεωμετρών από τον Θαλή μέχρι τον Ευκλείδη με σύντομη αναφορά σε μερικούς από αυτούς για την προσφορά τους στη Γεωμετρία. Ο Πρόκλος αντλεί αυτές τις πληροφορίες πιθανόν από το έργο Ιστορία Γεωμετρίας του Εύδημου του Ρόδιου. Το έργο αυτό γράφτηκε περίπου τον 3ο π.Χ αιώνα και δυστυχώς χάθηκε. Αν αυτό είχε διασωθεί η γνώση μας για τα πρόσωπα της αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας και επιστήμης γενικότερα θα ήταν πιο πλήρης και εμπεριστατωμένη.
Μέσα σε αυτούς τους 23 Γεωμέτρες βρίσκεται και ο Λεωδάμας ο Θάσιος. Ο Πρόκλος αναφέρει ότι ήταν μαθητής του Πλάτωνα και περίπου συνομήλικος του Θεαίτητου. Ο Θεαίτητος ήταν Αθηναίος αριστοκρατικής καταγωγής και σπουδαίος μαθηματικός. Γεννήθηκε το 415 π.Χ και σκοτώθηκε ένδοξα το 369 π.Χ σε πόλεμο των Αθηναίων με τους Κορινθίους. Σπούδασε στην Ακαδημία, ήταν μαθητής του Πλάτωνα και πιθανώς να διετέλεσε και διευθυντής της. Σ’ αυτόν αποδίδονται το Χ και ΧΙΙΙ βιβλίο των Στοιχείων. Πολλά στοιχεία για τον Θεαίτητο τα αντλούμε από τον Πλατωνικό διάλογο Θεαίτητος. Σε αυτόν το διάλογο (Θεαίτητος 147D) μετέχουν ο γηραιός Θεόδωρος ο Κυρηναίος, δάσκαλος του Θεαίτητου, ο Θεαίτητος και κάποιος νεαρός με το όνομα Σωκράτης.
Ο Πλάτων εκεί περιγράφει μία μέθοδο που αφορά τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών μέχρι (και;) το 17 και την εικασία ότι αυτοί έχουν άπειρη ανθυφαίρεση. Ο ομότιμος καθηγητής του Πανεπιστημίου Αθηνών κ. Στ. Νεγρεπόντης έχει κάνει εμπεριστατωμένη ερευνητική εργασία για το θέμα αυτό και μάλιστα ανακατασκευάζει με τη βοήθεια των Πλατωνικών Διαλόγων και του Χ βιβλίου των Στοιχείων την απόδειξη για το Θεώρημα της Παλινδρομικότητας της Ανφυφαίρεσης άρρητων αριθμών, που θεωρεί ότι γνώριζε ο Θεαίτητος.
Αλλά ας επιστρέψουμε στον Λεωδάμαντα. Αφού ήταν από τα επιφανέστερα μέλη της Ακαδημίας και κοντά στον Θεαίτητο, πιθανώς άμεσος συνεργάτης του, τότε μπορούμε ισχυρά να επιχειρηματολογήσουμε ότι συμμετείχε στη συγγραφή των Χ και ΧΙΙΙ βιβλίων των Στοιχείων καθώς και στην απόδειξη του πιο πάνω θεωρήματος. Ας σημειώσουμε ότι αυτό είναι ένα πολύ δύσκολο θεώρημα και αποδείχθηκε τελικά τον 19ο αιώνα με τη συνδρομή πολλών σπουδαίων Μαθηματικών.
Ο Πρόκλος τώρα αναφέρει ότι ο Αρχύτας από τον Τάραντα (428-365 π.Χ) θεωρείται ένας από εκείνους, όπως ο Λεωδάμας ο Θάσιος και ο Θεαίτητος ο Αθηναίος, που πλούτισαν τον κλάδο της Γεωμετρίας με πρωτότυπα θεωρήματα και έδωσαν επιστημονικότερη κατεύθυνση σ’ αυτά (Πρόκλου Eucl. pol, II 66, 14). Στον Αρχύτα αποδίδεται η λύση του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου (Δήλιο πρόβλημα) με τη χρήση ημικυλίνδρου.
Από αυτή την αναφορά του Πρόκλου μπορούμε να εικάσουμε δύο πράγματα :
Α) Τη συγγραφή των Χ και ΧΙΙΙ βιβλίων των Στοιχείων που αναφέραμε παραπάνω.
Β) Αφού ο Πρόκλος αναφέρει με χρονολογική σειρά τους 23 Γεωμέτρες και εδώ αναφέρει πρώτα τον Λεωδάμαντα θα πρέπει να ήταν ηλικιακά λίγο μεγαλύτερος του Θεαίτητου, δηλαδή να είχε γεννηθεί πριν το 415 π.Χ. Μιας και ήταν μαθητής του Πλάτωνα, άρα νεώτερός του, θα πρέπει να γεννήθηκε μεταξύ του 427 και 415 π.Χ.
Ο Πλάτων έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο την οποία με μορφή επιστολής εκθέτει στο μαθητή του Λεωδάμαντα. Η λογική αυτή αποδεικτική μέθοδος μετασχηματίζει διαδοχικά το θεώρημα που θέλουμε να αποδείξουμε σε σειρά άλλων ισοδύναμων, το τελευταίο των οποίων είναι γνωστό. Τότε αν ακολουθήσουμε την αντίστροφη πορεία μπορούμε από το τελευταίο γνωστό θεώρημα να φθάσουμε στο αποδεικτέο.
Τελευταία αναφορά του Πρόκλου είναι ότι ο Λεωδάμας είχε μαθητή του τον Λέοντα τον Βυζάντιο, ο οποίος είχε συγγράψει βιβλίο Γεωμετρίας με τίτλο Στοιχεία.
Δυστυχώς αυτές μόνο είναι οι αναφορές στον Λεωδάμαντα. Το άρθρο αυτό ας είναι μια προσπάθεια για να βγει από την αφάνεια ο μεγάλος αυτός μαθηματικός της αρχαιότητας, που δυστυχώς σήμερα είναι παντελώς άγνωστος ακόμα και στην γενέτειρά του, τη Θάσο.
 
Πηγή: ΕΜΕ περιοδικό Ευκλείδης (τεύχος 82)- Σωτήρης Χ. Γκουντουβάς

Ετικέτες

Δομή Εκπαιδευτικού Συστήματος


Η Εκπαίδευση στην Ελλάδα είναι υποχρεωτική για όλα τα παιδιά μεταξύ των ηλικιών 6-15, δηλαδή περιλαμβάνει την Πρωτοβάθμια (Δημοτικό) και την κατώτερη Δευτεροβάθμια (Γυμνάσιο). H σχολική ζωή, όμως, των μαθητών μπορεί να ξεκινά από την ηλικία των 2,5 ετών (προσχολική εκπαίδευση) σε ιδρύματα (ιδιωτικά και δημόσια) που ονομάζονται Βρεφονηπιακοί Παιδικοί Σταθμοί. Ορισμένοι Βρεφονηπιακοί Παιδικοί σταθμοί διαθέτουν και Νηπιακά Τμήματα που λειτουργούν παράλληλα προς τα Νηπαιγωγεία.

Η διάρκεια φοίτησης στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση (Δημοτικό) είναι εξαετής, με ηλικία εισόδου το 6ο έτος. Παράλληλα προς τα κοινά Νηπιαγωγεία και Δημοτικά λειτουργούν και Ολοήμερα σχολεία, τα οποία έχουν διευρυμένο ωράριο λειτουργίας και εμπλουτισμένο Αναλυτικό Πρόγραμμα.

Η μετα-υποχρεωτική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, σύμφωνα με τη μεταρρύθμιση του 1997, περιλαμβάνει δύο τύπους σχολείων: τα Ενιαία Λύκεια και τα Τεχνικά Επαγγελματικά Εκπαιδευτήρια (ΤΕΕ). Η διάρκεια φοίτησης είναι τριετής στα Ενιαία Λύκεια και διετής (α΄ κύκλος σπουδών) ή τριετής (β΄ κύκλος σπουδών) στα Τεχνικά Επαγγελματικά Εκπαιδευτήρια, ενώ δεν αποκλείονται αμοιβαίες μετακινήσεις από τον ένα τύπο σχολείου στον άλλο.

Παράλληλα με τα κοινά σχολεία της Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης λειτουργούν και Ειδικά Νηπιαγωγεία, Δημοτικά, Γυμνάσια, Λύκεια και λυκειακές τάξεις, που απευθύνονται σε μαθητές με ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες. Επίσης λειτουργούν και Μουσικά, Εκκλησιαστικά και Αθλητικά Γυμνάσια και Λύκεια.

Στη μετα-υποχρεωτική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση εντάσσονται και τα Ινστιτούτα Επαγγελματικής Κατάρτισης (ΙΕΚ), τα οποία προσφέρουν επίσημη αλλά αδιαβάθμιτη εκπαίδευση. Τα Ιδρύματα αυτά χαρακτηρίζονται αδιαβάθμιτα, γιατί δέχονται τόσο αποφοίτους Γυμνασίου όσο και αποφοίτους Λυκείου, ανάλογα με τις επιμέρους ειδικότητες που προσφέρουν.
Η δημόσια πανεπιστημιακή εκπαίδευση χωρίζεται σε ΑΕΙ και ΤΕΙ. Η εισαγωγή των φοιτητών σ αυτά τα ιδρύματα εξαρτάται από την επίδοσή τους σε εξετάσεις εθνικού επιπέδου που λαμβάνουν χώρα στη Β΄ και Γ΄ τάξη του Λυκείου. Επιπρόσθετα, στο ΕΑΠ οι φοιτητές γίνονται αποδεκτοί από την ηλικία των 22 ετών μετά από κλήρωση.

Το διάγραμμα που ακολουθεί παρουσιάζει συνοπτικά τη δομή του ελληνικού εκπαιδευτικού συστήματος, όπως αυτό συγκροτείται από ιδρύματα της επίσημης τυπικής, διαβαθμισμένης ή αδιαβάθμιστης εκπαίδευσης.

Η επίσημη τυπική εκπαίδευση χαρακτηρίζεται από καθορισμένη διάρκεια σπουδών, επαναληψιμότητα, και απονομή επίσημου τίτλου σπουδών στο τέλος τους, ο οποίος αποτελεί και την κρατική νομιμοποίησή της.

Η διαβάθμιση των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων συνεπάγεται την υποχρέωση κατοχής του αποδεικτικού τίτλου (απολυτηρίου, πτυχίου κλπ.) του προηγούμενου επιπέδου σπουδών για τη συνέχιση στο επόμενο.

Επισημαίνεται ότι το διάγραμμα δίνει τη γενική εικόνα του εκπαιδευτικού συστήματος σε όσες εκφάνσεις του εποπτεύονται κυρίως από το ΥΠΕΠΘ, που είναι και οι μεγαλύτερες σε έκταση. Όμως, μια ευρύτερη ανάλυση δείχνει ότι το σύνολο των εκπαιδευτικών υπηρεσιών που προσφέρονται στην Ελλάδα αποτελεί ένα πλέγμα πολύ πιο πολύπλοκο, πολυεπίπεδο και διαφοροποιημένο. Πολλές άλλες εκπαιδευτικές υπηρεσίες, διαβαθμισμένες ή αδιαβάθμιστες, προσφέρονται μέσα στο επίσημο εκπαιδευτικό σύστημα και σε συνεργασία με αυτό ή και εντελώς ανεξάρτητες από όσες εντάσσονται στον βασικό πυρήνα του.


Ετικέτες

Παρασκευή, 30 Μαρτίου 2012

Επικοινωνία


bdestounis@gmail.com

Ετικέτες

Απουσίες




Δικαιολογημένες
Αδικαιολόγητες
Γυμνάσια
50
64
Εσπερινά Γυμνάσια
50
80
ΓΕΛ
64
50
Εσπερινά ΓΕΛ
80
50
ΕΠΑΛ
64
50
Εσπερινά ΕΠΑΛ
80
50
ΕΠΑΣ
40
40

Ετικέτες

Πέμπτη, 29 Μαρτίου 2012

Μηδέν ή Άριστα, μια αληθινή ιστορία.


«Πώς μπορούμε να βρούμε το ύψος ενός ψηλού κτιρίου, χρησιμοποιώντας ένα βαρόμετρο?»
Η απάντηση ενός φοιτητή στην ερώτηση αυτή στις εξετάσεις στο μάθημα της Φυσικής δημιούργησε πρόβλημα στο πανεπιστήμιο , μιας και ο καθηγητής βαθμολόγησε την απάντηση του φοιτητή με μηδέν και ο φοιτητής από την άλλη μεριά ισχυριζόταν ότι η απάντηση του ήταν σωστή και έπρεπε να βαθμολογηθεί με άριστα .
                                                                Ernest Rutherford
Τη λύση κλήθηκε  στη διαφωνία να δώσει ο Νομπελίστας πυρηνικός φυσικός Ernest Rutherford (1871 - 1937) που δίδασκε στο ίδιο πανεπιστήμιο .
Ο Rutherford διάβασε την απάντηση του φοιτητή , η οποία έλεγε :

«Παίρνουμε το βαρόμετρο και το ανεβάζουμε στο υψηλότερο σημείο του κτιρίου, το δένουμε στην άκρη ενός νήματος, το κατεβάζουμε μέχρι το επίπεδο του δρόμου, μετά το ξανανεβάζουμε και μετράμε το μήκος του νήματος. Το μήκος του νήματος από το δρόμο ως την κορυφή του κτιρίου είναι το ύψος του κτιρίου».
Ο Ράδερφορντ παραδέχτηκε ότι η απάντηση του φοιτητή ήταν σωστή και πλήρως αιτιολογημένη και δικαίως ζητούσε να βαθμολογηθεί με άριστα . Από την άλλη μεριά όμως , αν έπαιρνε άριστα για την απάντηση του θα πιστοποιούσε αντίστοιχη γνώση του αντικειμένου, πράγμα που δεν αποδεικνυόταν από την απάντηση που είχε δώσει.
Σκέφτηκε τότε να δώσει μία ευκαιρία στον φοιτητή να απαντήσει με διαφορετικό τρόπο στην ερώτηση προκειμένου να ξεκαθαρίσει το θέμα .  
Του έδωσε χρόνο έξι λεπτών για να γράψει την απάντηση του στην ερώτηση , εξηγώντας του ότι η απάντηση του θα πρέπει να αιτιολογηθεί με γνώσεις Φυσικής . Λίγο προτού ολοκληρωθεί ο χρόνος ο φοιτητής δεν είχε γράψει ούτε μία λέξη και ο Ράδερφορντ τον ρώτησε αν σκόπευε να εγκαταλείψει την προσπάθεια αλλά ο φοιτητής τού απάντησε: «Όχι, απλώς έχω πολλές απαντήσεις και προσπαθώ να σκεφτώ ποια είναι η καλύτερη».

Στο επόμενο λεπτό, ο φοιτητής έγραψε πρόλαβε και έγραψε την απάντηση του  που έλεγε :
«Παίρνω το βαρόμετρο στην κορυφή του κτιρίου και σκύβω πάνω από το κενό. Αφήνω το βαρόμετρο να πέσει και χρονομετρώ την πτώση του. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο s = 1/2gt2 , υπολογίζω το ύψος του κτιρίου» .
Ο Ράδερφορντ διαβάζοντας την απάντηση του φοιτητή είπε ότι πρέπει να βαθμολογηθεί με άριστα και σε αυτό συμφώνησε και ο καθηγητής .
Καθώς αποχωρούσαν ο Ράδερφορντ ρώτησε τον νεαρό φοιτητή ποιες ήταν οι άλλες απαντήσεις που σκεφτόταν να δώσει στο πρόβλημα .
«Να σας πω», απάντησε ο φοιτητής. «Ένας τρόπος είναι ,αν λάμπει ο ήλιος, παίρνεις το βαρόμετρο, μετράς το ύψος του, το μήκος της σκιάς του και το μήκος της σκιάς του κτιρίου και με απλή μέθοδο των τριών βρίσκεις το ύψος του κτιρίου».
[σ.σ. Είναι περίπου η μέθοδος που λέγεται ότι χρησιμοποίησε ο Θαλής για να μετρήσει το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα - όχι βέβαια με βαρόμετρο, αλλά με ανθρώπινη σκιά.]
«Εντάξει», είπε ο Ράδερφορντ. «Και οι άλλες λύσεις;»
«Να», είπε ο φοιτητής, «υπάρχει μια πολύ στοιχειώδης μέθοδος που θα σας αρέσει. Παίρνουμε το βαρόμετρο κι αρχίζουμε να ανεβαίνουμε τα σκαλιά. Καθώς ανεβαίνουμε, χρησιμοποιούμε το βαρόμετρο σαν υποδεκάμετρο και σημαδεύουμε στον τοίχο κάθε φορά το μήκος του βαρόμετρου. Όταν θα έχουμε φτάσει στην κορυφή, μετράμε τα σημάδια και έχουμε το ύψος σε χ μήκη βαρομέτρου».
«Μια πολύ άμεση και μάλλον επίπονη μέθοδος», σχολίασε ο Ράδερφορντ. «Βεβαίως. Αν θέλετε μια πιο εξεζητημένη μέθοδο, μπορείτε να δέσετε το βαρόμετρο στην άκρη ενός νήματος, να το βάλετε να ταλαντεύεται σαν εκκρεμές και να μετρήσετε την τιμή του g (επιτάχυνση βαρύτητας) στο επίπεδο του δρόμου και στην κορυφή του κτιρίου. Από τη διαφορά των δύο τιμών του g, μπορείτε θεωρητικά να υπολογίσετε το ύψος του κτιρίου. Επίσης, θα μπορούσατε να πάρετε το βαρόμετρο στο ψηλότερο σημείο του κτιρίου, και δεμένο όπως πριν στην άκρη ενός νήματος να το χαμηλώσετε μέχρι το επίπεδο του δρόμου και να το βάλετε να ταλαντεύεται σαν εκκρεμές, οπότε μπορείτε να υπολογίσετε το ύψος του κτιρίου από την περίοδο της μετατόπισης».
Ο Ράδερφορντ δεν μπορούσε παρά να συμφωνήσει με τις απαντήσεις του φοιτητή. «Βεβαίως», συνέχισε ο φοιτητής, «υπάρχουν και διάφοροι εναλλακτικοί τρόποι να μάθεις το ύψος του κτιρίου με ένα βαρόμετρο. Ίσως ο καλύτερος είναι να πάρεις το βαρόμετρο στο υπόγειο, να χτυπήσεις την πόρτα του επιστάτη και, όταν σου ανοίξει, να του πεις: Αγαπητέ κύριε, ορίστε ένα καταπληκτικό βαρόμετρο. Θα σας το κάνω δώρο, αν μου πείτε ακριβώς το ύψος αυτού του κτιρίου».
Σ' αυτό πια το σημείο ο Ράδερφορντ ρώτησε το φοιτητή αν ήξερε τη συμβατική λύση του προβλήματος. «Και βέβαια τη γνωρίζω», του απάντησε ο φοιτητής. «Απλώς βαρέθηκα στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο να μου λένε συνέχεια οι καθηγητές πώς θα πρέπει να σκέφτομαι».
Το όνομα του φοιτητή ήταν Niels Bohr (1885 – 1962) , ο Δανός που στη συνέχεια της καριέρας του απέδειξε τις θεωρίες του Ράδερφορντ για τα ηλεκτρόνια και έδωσε σημαντική ώθηση στην ανάπτυξη της Κβαντικής Φυσικής.
Niels Bohr

 
Το διαβάσαμε στο "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" του Σωκράτη Ρωμανίδη.

Ετικέτες

Πώς τα μαθηματικά μπορεί να προκάλεσαν την οικονομική κρίση

Ένας διακεκριμένος μακρο-οικονομολόγος έγραψε για την οικονομική κρίση που ξεκίνησε από την Αμερική το 2010.





Ένας από τους τρόπους με τους οποίους μπορεί τα Μαθηματικά να προκάλεσαν την οικονομική κρίση, δεν ελήφθη σοβαρά υπόψην.
Καθώς η επιστήμη των οικονομικών εξελίχθηκε τις τελευταίες δεκαετίες, οι τεχνικές (και ιδιαίτερα οι μαθηματικές) απαιτήσεις της, αυξήθηκαν σημαντικά. Στην προσπάθειά μας να χωρέσουμε στα προγράμματα σπουδών των μεταπτυχιακών αυτά τα νέα «Μαθηματικά εργαλεία», κατέστη αναγκαία η περικοπή άλλων Μαθημάτων.

Έτσι, τα τμήματα Οικονομικών των Πανεπιστημίων που αναζητούσαν «περιττά» μαθήματα για να τα περικόψουν, στράφηκαν στην «Οικονομική Ιστορία» και την «Ιστορία της Οικονομικής σκέψης». Αυτό ήταν λάθος. Ένας από τους λόγους που μας ξέφυγε η κρίση, πιστεύω, είναι γιατί ξεχάσαμε πως είναι οι οικονομικές κρίσεις. Λησμονήσαμε τις αιτίες που τις προκαλούν, και ακόμα, σε ορισμένες περιπτώσεις, ξεχάσαμε ακόμα και ότι συνέβησαν γενικότερα. Εν ολίγοις, λησμονήσαμε τα διδάγματα του παρελθόντος. Αυτό που συνέβη, προκλήθηκε από μια νέα υπόσχεση, πως τα πράγματα τούτη τη φορά θα ήταν διαφορετικά, ενώ στο μεγαλύτερό τους μέρος δεν ήταν.

Όπως ψάχναμε να βρούμε μαθήματα να περικόψουμε, και να βρούμε χώρο για τα Μαθηματικά, θεωρήσαμε πως η Ιστορία της Οικονομίας, ήταν λιγότερο πολύτιμη. Στη πραγματικότητα, είναι ίσως το σημαντικότερο μάθημα. Ασφαλώς δεν υπάρχει τρόπος να μάθουμε αν για την οικονομική κρίση ευθύνεται η απομάκρυνση αυτών των μαθημάτων, αλλά η γνώμη μου είναι πως ίσως και να συνετέλεσε και πως θα πρέπει να σκεφτούμε την επανένταξή τους στις πανεπιστημιακές σπουδές.

του Mark Thoma, για την cbsnews.com 

Ετικέτες

Η χρυσή τομή και ο αριθμός φ



Ο μοναχός-μαθηματικός του 15ου αιώνα Λούκα Πατσιόλι, επηρεασμένος από την αντίληψη της εποχής του η οποία ήθελε τις νέες γνώσεις της επιστήμης να εντάσσονται στο εκκλησιαστικό δόγμα, όταν συνάντησε στις έρευνές του τον άρρητο αριθμό που προκύπτει από το ημιάθροισμα της μονάδας και της τετραγωνικής ρίζας του πέντε (= 1,618033…) τον αποκάλεσε Θεία Αναλογία.
Αργότερα, ο Αμερικανός μαθηματικός Μαρκ Μπαρ συμβόλισε τον ίδιο αριθμό με το ελληνικό γράμμα «φ», προς τιμήν του γλύπτη Φειδία, στου οποίου τα έργα τον συναντούμε συνέχεια.

Μαθηματικός τύπος

Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο.


Από το (2)=(3) έχουμε α=φb και αντικαθιστώντας στο (1)=(3) προκύπτει
Η εξίσωση αυτή έχει μόνο μία θετική ρίζα, την                                                                                               
 Εφαρμογές του «φ»
 Η βασική ιδιότητα του αριθμού αυτού, είναι πως το τετράγωνό του είναι ίσο με τον ίδιο τον αριθμό αν σε αυτόν προστεθεί η μονάδα (φxφ=φ+1). Ωστόσο, αυτά τα αριθμητικά παιχνίδια δεν είναι ο λόγος για τον οποίο ο φ καλείται ο χρυσός αριθμός της αναλογίας, ή αλλιώς χρυσή τομή. Ο φ προκύπτει αν διαιρέσουμε το πλήθος των θηλυκών μελισσών με το πλήθος των αρσενικών, το ύψος ενός ανθρώπου με την απόσταση του ομφαλού του από την άκρη των ποδιών του, το πλήθος των φύλλων ενός δέντρου προς το πλήθος των κλαδιών του.
                   










Στην τέχνη ο αριθμός φ, θεωρείται ο αριθμός της απόλυτης συμμετρίας και ομορφιάς. Βασισμένος σε αυτήν την αναλογία είναι ο σχεδιασμός του Παρθενώνα. Βασισμένα σε αυτήν είναι τα έργα πολλών ζωγράφων, με σημαντικότερο τον Λεονάρντο Ντα Βίντσι. Ακόμα και πολλές από τις σονάτες του Μότσαρτ είναι χωρισμένες σε δύο μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων είναι ο χρυσός αριθμός. Στο σύμβολο της αδελφότητας των Πυθαγορείων, την  πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους αστεριού.

 Ο φ συναντάται οπουδήποτε υπάρχει ανάγκη αναλογίας. Στη ζωγραφική, την αρχιτεκτονική, τη μουσική και όλο και περισσότερο γίνεται λόγος για την ύπαρξη της χρυσής αναλογίας στη διάταξη των νουκλεοτιδίων στην έλικα του DNA.
 Η πιο επιτυχημένη προσέγγιση του αριθμού φ, είναι με την ακολουθία του διάσημου Ιταλού μαθηματικού Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Ο Φιμπονάτσι, καταγράφοντας τις γεννήσεις των κουνελιών σε ιδανικές συνθήκες, παρατήρησε ότι γίνονται σύμφωνα με τους όρους της ακολουθίας 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Της ακολουθίας δηλαδή στην οποία κάθε όρος προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων του.  Από τη διαίρεση ενός όρου αυτής της ακολουθίας, με τον αμέσως προηγούμενο, παίρνουμε έναν αριθμό λίγο μεγαλύτερο από ενάμιση. Όσο μεγαλώνουν οι όροι της ακολουθίας, τόσο πιο πολύ ο λόγος τους θα κοντεύει στο χρυσό αριθμό φ.
 Οι πραγματικά ενδιαφέρουσες εφαρμογές ξεκινούν από την κατασκευή, με τη βοήθεια της Χρυσής Τομής, ενός άλλου γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται Λογαριθμική Σπείρα. H κατασκευή αυτή βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των «χρυσών» ορθογωνίων. Αν «κόψουμε» ένα τετράγωνο από ένα τέτοιο ορθογώνιο, τότε το μικρότερο ορθογώνιο που απομένει είναι πάλι «χρυσό»! Με τον τρόπο αυτόν μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ακολουθία από ολοένα και μικρότερα «χρυσά» ορθογώνια, που βρίσκονται το ένα μέσα στο άλλο. H λογαριθμική σπείρα είναι το σχήμα που σχηματίζεται σε αυτή την ακολουθία των χρυσών ορθογωνίων, αν εγγράψουμε σε κάθε τετράγωνο ένα τεταρτοκύκλιο.
Αν οι άνθρωποι επιλέγουν τη Χρυσή Τομή για αισθητικούς λόγους, τι μπορούμε να πούμε για τη φύση, που επιλέγει τη λογαριθμική σπείρα για να «κατασκευάσει» μια πληθώρα από δομές; Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει με έκπληξη ότι η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε σχήματα φυσικών αντικειμένων με εντελώς διαφορετικές ιδιότητες. Στη μικρότερη κλίμακα εμφανίζεται στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών, όπως για παράδειγμα είναι ο ναυτίλος. Στην ενδιάμεση κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων. Τέλος στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια, τους οποίους μπορούμε να απολαύσουμε στις φωτογραφίες των σύγχρονων τηλεσκοπίων.

Ο μαθηματικός Άντριαν Μπέτζαν του πανεπιστημίου Ντιούκ των ΗΠΑ πιστεύει ότι η ενστικτώδης προτίμηση του ανθρώπου για σχήματα με τη «Χρυσή αναλογία» οφείλεται στο ότι είναι πιο εύκολο για το ανθρώπινο μάτι και τον εγκέφαλο του ανθρώπου να αποτυπώσουν όλες τις σημαντικές λεπτομέρειες μιας εικόνας με την αναλογία αυτή και όχι με άλλη. Με άλλα λόγια η «Χρυσή αναλογία» είναι το ποιο αποτελεσματικό σχήμα για το «οπτικό σκανάρισμα» από τον εγκέφαλο.


 Ποιος είναι άραγε ο βαθύτερος λόγος που κάνει έναν αριθμό, κατασκευασμένο με βάση μια αφηρημένη μαθηματική ιδιότητα, να έχει τόσο σημαντικές εφαρμογές στη φύση, και μάλιστα σε τόσο διαφορετικά συστήματα;

Ετικέτες

Τετάρτη, 28 Μαρτίου 2012

ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ



ΩΡΟΛΟΓΙΟ  ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ  ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ


  Η ισχύς της παρούσης αρχίζει από το σχολικό έτος 2011-2012. 


ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ/ΜΑΘΗΣΙΑΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ/ΜΑΘΗΜΑ

ΤΑΞΕΙΣ
Α΄
Β΄
Γ'



Ελληνική Γλώσσα
και
Γραμματεία

Νεοελληνική Γλώσσα
και Γραμματεία 
Γλωσσική Διδασκαλία
3
2
2
Νεοελληνική Λογοτεχνία
2
2
2

Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία
Αρχαία Ελληνική Γλώσσα
2
3
3
Αρχαία Ελληνικά Κείμενα από Μετάφραση
2
2
2

Μαθηματικά


Μαθηματικά

4

4

4


Φυσικές Επιστήμες
Φυσική
-
2
2
Χημεία
-
1
1
Βιολογία
2
-
2
Γεωγραφία
2
2
-
Σπουδές του Ανθρώπου και της Κοινωνίας
Ιστορία
2
2
2
Θρησκευτικά
2
2
2

Ξένες Γλώσσες
Αγγλικά
3
3
3
2η Ξένη Γλώσσα
2
2
2
Τεχνολογίες Πληροφορίας
και Επικοινωνιών
Τεχνολογίες Πληροφορίας
και Επικοινωνιών

2

2

2

Πολιτισμός και Δραστηριότητες Τέχνης
Μουσική

2

2

2
Καλλιτεχνικά
Σχολική και Κοινωνική Ζωή (Σ.Κ.Ζ.)

Φυσική Αγωγή
2
2
2

Βιωματικές Δράσεις-Συνθετικές Δημιουργικές Εργασίες


Τεχνολογία

Οικ. Οικονομία

Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή

Τοπική Ιστορία


Περιβάλλον και Εκπαίδευση για την Αειφόρο Ανάπτυξη (Π.Ε.Α.Α)

Σχολική και Κοινωνική Ζωή (Σ.Κ.Ζ.)

Σχολικός Επαγγελματικός Προσανατολισμός (Σ.Ε.Π.)

Τεχνολογία (1 ώρα)

Οικ. Οικονομία (1 ώρα)




3



-






-


Σ.Κ.Ζ.-Π.Ε.Α.Α.

Σ.Κ.Ζ. (1 ώρα στο α΄και β΄τρίμηνο)

Π.Ε.Α.Α. (1 ώρα στο γ΄ τρίμηνο)


Τεχνολογία (1 ώρα)

Οικ. Οικονομία (1 ώρα)


-


2


-
Κοιν. και Πολ. Αγωγή (1 ώρα)




-



-



2


Τοπική Ιστορία και Π.Ε.Α.Α.-
Σ.Κ.Ζ. και  Σ.Ε.Π.

Τοπική Ιστορία και Π.Ε.Α.Α.(1 ώρα στο α΄και β΄τρίμηνο)

Σ.Κ.Ζ. και  Σ.Ε.Π. (1 ώρα στο γ΄ τρίμηνο)



ΣΥΝΟΛΟ ΩΡΩΝ

35

35

35

Ετικέτες